Caso 1
Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Ejemplo:
x^8 + x^2 y^2 - 2xy = xy(x + xy - 2)
Factor común monomio
Ejemplos descritos de factorizacion:1. Descomponer en factores a^2 + 2a.
a^2 / a = a y 2a / a= 2, y tendremos a^2 + 2a = a(a+2)
2. Descomponer en factores 10b – 30 a b^2 .
Los coeficientes 10 y 30 tienen factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b porque esta en los 2 términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.
El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b / 10b = 1 y -30ab^2 /10b = -3ab
y tendremos:
10b – 30a b^2 = 10b(1 – 3ab).
Ejercicios:
Factorar o descomponer en dos factores:
1) 3a^3 – a^2 = a^2 (3a-1)
2) 15c^3 d^2 + 60 c^2 d^3 = 15c^2 d^2 (c + 4d)
3) 34ax^2 + 51a^2 y – 68 a y^2 = 17a(2x^2 + 3ay - 4y^2 ).
En este ejemplo vemos que el factor común del coeficiente numérico es el 17, como sabemos que es el 17 dividiendo:
34 / 17 = 2 ; 51 / 17= 3 ; 68 / 17= 4, es decir tenemos que buscar un numero que sea divisible para todos los coeficientes numéricos.
Y en cuanto al coeficiente Literal el factor comun es a debido a que es el menor exponente de dicho coeficiente Literal.
4) x – x^2 + x^3 – x^4 = x(1 – x + x^2 – x^3 )
5) 3a^2 b + 6ab – 5a^3 b^2 + 8a^2 bx +4ab^2 m = a( ab + 6b – 5a^2 b^2 + 8abx + 4b^2m)
Caso 2
Factor comun por agrupación de terminosPara trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
ab + ac + bd + dc = (ab + ac) (bd + dc)
= a(b + c) + d(b + c)
= (a + d) (b + c)
Pasos para realizar el caso II (Factor comun por agrupación de terminos)Los pasos para realizar este caso que es el factor comun por agrupacion de terminos es:
1) Observar detenidamente el ejercicio en este caso vamos a poner como ejemplo el ejercicio anterior es decir: ab + ac + bd + dc.
2) Agrupar los terminos de una manera que al realizar el ejercicio nos de cómo resultado un factor comun le voy a demostrar con ejemplos:
ab + ac + bd + dc
agrupando los términos: (ab + ac) + (bd + dc)
aplicando lo del caso I a(b + c) + d(b + c) observemos en la parte sombreada con azul que se repite el mismo factor comun (b + c)
es decir el ejercicio si se lo puede realizar es el caso II, si al agrupar los términos no se repiten los factores comunes no es el caso II y por ende no se puede realizar el ejercicio.
3) Una vez identificado que se trata de un factor comun por agrupación de términos procedemos a colocar primero el coeficiente literal es decir las letras que están fuera de los factores comunes.
son las que están sombreada con rojo. a (b + c) + d (b+c)
por ultimo colocamos los factores comunes
dándonos como resultado (a+d) (b+c)
Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos. Ejemplo:
Resolviendo nos queda:
2ab + 2a - b - 2ac + c - 1
(2ab - 2ac + 2a) - (b - c + 1)
2a(b - c + 1) - (b - c + 1)
(b - c + 1) (2a - 1)
Ejemplos Descritos de factorizacion:
Descomponer : ax + bx + ay + by:
Los dos primeros términos tienen el factor comun x y los dos últimos el factor comun y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= x(a + b) + y(a + b)
La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor comun, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor comun en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.
Así en el ejemplo anterior podemos agrupar el 1er y 3er. términos que tienen el factor comun a y el 2do y 4to que tienen el factor comun b y tendremos:
ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by)
= a(x + y) + b (x + y)
= (a + b) (x + y)
Ejercicios:
1) a^2 x^2 – 3bx^2 + a^2 y^2 – 3by^2
(a^2 x^2 – 3bx^2 ) + (a^2 y^2 – 3by^2 )
x^2 (a^2 – 3b) + y^2 (x^2 + y^2 )
(a^2 – 3b) (x^2 + y^2 )
2) x^2 – a^2 + x – a^2 x
(x^2 + x) – (a^2 + a^2 x)
x(x + 1) – a^2 (1 + x)
(x + 1) (x – a^2 )
3) 4a^3 x – 4a^2 b + 3bm – 3amx
(4a^3 x – 3amx) – (4a^2 b – 3bm)
ax(4a^2 – 3m) – b (4a^2 – 3m)
(4a^2 – 3m ) (ax – b)
4) 2am – 2an + 2a – m + n – 1
(2am – 2an + 2a) – (m – n + 1)
2a(m – n + 1) – (m – n + 1)
(m – n + 1) (2a – 1)
5) 3x^3 + 2axy + 2ay^2 – 3xy^2 – 2ax^2 – 3x^2 y
(3x^3 – 3x^2 y – 3xy^2 ) – (2ax^2 – 2axy – 2ay^2 )
3x(x^2 – xy – y^2 ) – 2a(x^2 – xy – y ^2)
(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a)
En este ejercicio vemos la forma en que podamos agrupar los términos, ya que una vez al agrupar los dos términos deben dar el
mismo factor comun es decir en este ejercicio el factor comun es (x^2 – xy – y^2 ).
En este caso como vemos, agrupamos los términos correspondiente y nos da como respuesta
(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a).
La clave para resolver este caso es observar el ejercicio darse cuenta la manera en que podamos agrupar los términos para que nos pueda dar el mismo factor comun y así se pueda realizar el ejercicio.
Caso 3
Trinomio cuadrado perfecto
Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto.Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado
Ejemplos descritos:
Factoraizar: m^2 + 2m + 1
m^2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)^2
Factorar: 4x^2 + 25y^2 – 20xy
Ordenando el trinomio, tenemos:4x^2 – 20xy + 25y^2 = (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)^2
Importante:
Cualquiera de las dos raíces puede ponerse de minuendo. Así en el ejemplo anterior se tendrá también:
4x^2 – 20xy + 25y^2 = (5y – 2x) (5y – 2x) = (5y – 2x)^2
Porque desarrollando este binomio se tiene:
(5y – 2x)^2 = 25y^2 – 20xy + 4x^2
Expresión idéntica a 4x^2 – 20xy + 25y^2 ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos.
Ejemplos descritos:
Factoraizar: m^2 + 2m + 1
m^2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)^2
Factorar: 4x^2 + 25y^2 – 20xy
Ordenando el trinomio, tenemos:4x^2 – 20xy + 25y^2 = (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)^2
Importante:
Cualquiera de las dos raíces puede ponerse de minuendo. Así en el ejemplo anterior se tendrá también:
4x^2 – 20xy + 25y^2 = (5y – 2x) (5y – 2x) = (5y – 2x)^2
Porque desarrollando este binomio se tiene:
(5y – 2x)^2 = 25y^2 – 20xy + 4x^2
Expresión idéntica a 4x^2 – 20xy + 25y^2 ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos.
Caso 4
Diferencia de cuadrados perfectosRegla para factorar una diferencia de cuadrados.
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Los pasos para saber si es un cuadrado perfectos es seguir los siguientes pasos .
1) observar que los dos términos tengan raíz o se le pueda sacar raíz cuadrada y que el segundo término este precedido del signo - ejemplo:
m^2 – 4 = es una diferencia de cuadrados porque tiene raíz cuadrada tanto el primer
termino; raiz cuadrada de m^2 es m y en el segundo termino; raiz cuadrada de 4 es 2 y por ultimo el segundo termino va precedido del signo – en este caso – 4.
Ejemplos descriptivos de factorizacion:
Factorizar: 1 – a^2
La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a^2 es a. multiplica la suma de estas raíces (1 + a) por la diferencia (1 – a) y tendremos:
1 – a^2 = (1 + a) (1 – a)
Factorizar: 49 x^2 y^6 z^10 – a^12
49 x^2 y^6 z^10 – a^12 = (7x y^3 z^5 + a^6 ) (7 x y^3 z^5 – a^6 )
Factorizar o descomponer en dos factores.
1) a^2 – 25 = (a + 5) (a – 5)
2) 36a^2 – 64b^2 = (6a + 8 b) (6a – 8b)
3) 16m^2 – 100 = (4m + 10) (4m – 10)
4) m^4 x – n^2 x= (m^2 x + nx) (m^2 x – nx)
Caso Especial de la diferencia de cuadrados perfectos.
Factorizar: (a + b) ^2 – c^2
La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.
Así, en este caso tenemos:
La raíz cuadrada de (a + b) ^2 es (a + b).
La raíz cuadrada de c^2 es c.
Multiplico la suma de estas raíces (a + b) + c por la diferencia (a + b) – c y tengo:
(a + b) ^2 – c^2 = [(a + b) + c] [(a + b) – c]
= (a + b + c) (a + b – c)
Factorizar: (p + q)^2 – (q + 2)^2
La raíz cuadrada de (p + q)^2 es (p + q).
La raíz cuadrada de (q + 2)^2 es (q + 2).
Se multiplica la suma de estas raíces (p + q) + (q + 2) por la diferencia (p + q) – (q + 2) y tengo:
(p + q) ^2 – (q + 2) ^2 = [(p + q) + (q + 2)] [(p + q) – (q + 2)]
= (p + q + q + 2) (p + q – q – 2) se reduce a términos semejantes y
queda.
= (p + 2q + 2) (p – 2).
Ejercicios del caso especial.
a^2 – (b + c) ^2 = [a + (b + c)] [a – (b + c)]
= (a + b + c) (a – b + c)
(x – y) ^2 – (c + d) ^2 = [(x – y) + (c + d)] [(x – y) – (c + d)]
= (x – y + c + d) (x – y – c – d)
4(a + b) ^2 – 9(c + d) ^2 = [2(a + b) + 3(c + d)] [2(a + b) – 3(c + d)]
= (2a + 2b + 3c + 3d) (2a + 2b – 3c – 3d)
Caso 5
Trinomio de la forma x^2 + bx + c.
Trinomios de la forma x^2 + bx + c son trinomios como:
X^2 + 5x + 6
m^2 + 5m – 14
a^2 – 2a – 15
Para que estos términos a la que hemos puesto como ejemplos sean trinomios de la forma x^2 + bx + c deben cumplir con las siguientes condiciones:
1) El coeficiente del primer término es 1.
2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3) El segundo término tiene la misma letra que el primero termino 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1er y 2do términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Regla para factorar un trinomio de la forma x^2 + bx + c
1) Lo primero que debemos hacer es sacar la raíz cuadrada del primer término del trinomio es decir raíz cuadrada de x^2 es x.
2) Luego de eso debemos de separar en dos grupos de binomios, cada grupo va constar de la raíz cuadrada que le sacamos al comienzo x^2 es decir x. Ejemplo
x^2 + 5x + 6 = (x ) (x )
3) Una vez realizado el paso 2 debemos identificar los signos por el cual va ir precedido el segundo término en ambos grupos para una mejor explicación le muestro el siguiente ejemplo:
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x )
En este caso los signos de ambos grupos de binomio es + esto lo identificamos observando el trinomio original, observamos el segundo término que va precedido del signo + al ver que tiene el signo mas colocamos el signo en el primer grupo de binomio es decir:
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x )
nos damos cuenta como colocamos el signo y para saber el signo del segundo grupo lo que hacemos es una simple ley de signos, es decir el signo que va precedido del segundo término por el signo que va precedido del tercer término del trinomio original ejemplo:
x^2 + 5x + 6
En este caso nos fijamos en los signos resaltados de rojo, al hacer la ley de los signos + * + = + nos va a dar el resultado de + que va ser el signo del segundo grupo ejemplo.
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x + )
4) Una vez descubierto los signos de ambos grupo pasamos a descubrir los números que van a ir tanto de un grupo como del otro grupo.
Esto lo hacemos sacando máximo comun divisor del último término del trinomio original. Ejemplo.
x^2 + 5x + 6
Es decir al 6 le sacamos el máximo comun divisor
6 = 2 y 3 vendría a ser el máximo comun de 6, porque 6 dividido para 2 nos da 3 y para ser al tres 1 lo dividimos para 3.
x^2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)
Estos son los números que van a ir tanto en un grupo como en el otro también lo podemos averiguar porque 3 al multiplicarlo por 2 nos va a dar 6 del trinomio original, y 3 sumando 2 nos va a dar 5 del segundo termino del trinomio original estas son las dos formas para comprobar si los números que colocamos son los correctos.
Trinomios de la forma x^2 + bx + c son trinomios como:
X^2 + 5x + 6
m^2 + 5m – 14
a^2 – 2a – 15
Para que estos términos a la que hemos puesto como ejemplos sean trinomios de la forma x^2 + bx + c deben cumplir con las siguientes condiciones:
1) El coeficiente del primer término es 1.
2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3) El segundo término tiene la misma letra que el primero termino 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1er y 2do términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Regla para factorar un trinomio de la forma x^2 + bx + c
1) Lo primero que debemos hacer es sacar la raíz cuadrada del primer término del trinomio es decir raíz cuadrada de x^2 es x.
2) Luego de eso debemos de separar en dos grupos de binomios, cada grupo va constar de la raíz cuadrada que le sacamos al comienzo x^2 es decir x. Ejemplo
x^2 + 5x + 6 = (x ) (x )
3) Una vez realizado el paso 2 debemos identificar los signos por el cual va ir precedido el segundo término en ambos grupos para una mejor explicación le muestro el siguiente ejemplo:
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x )
En este caso los signos de ambos grupos de binomio es + esto lo identificamos observando el trinomio original, observamos el segundo término que va precedido del signo + al ver que tiene el signo mas colocamos el signo en el primer grupo de binomio es decir:
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x )
nos damos cuenta como colocamos el signo y para saber el signo del segundo grupo lo que hacemos es una simple ley de signos, es decir el signo que va precedido del segundo término por el signo que va precedido del tercer término del trinomio original ejemplo:
x^2 + 5x + 6
En este caso nos fijamos en los signos resaltados de rojo, al hacer la ley de los signos + * + = + nos va a dar el resultado de + que va ser el signo del segundo grupo ejemplo.
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x + )
4) Una vez descubierto los signos de ambos grupo pasamos a descubrir los números que van a ir tanto de un grupo como del otro grupo.
Esto lo hacemos sacando máximo comun divisor del último término del trinomio original. Ejemplo.
x^2 + 5x + 6
Es decir al 6 le sacamos el máximo comun divisor
6 = 2 y 3 vendría a ser el máximo comun de 6, porque 6 dividido para 2 nos da 3 y para ser al tres 1 lo dividimos para 3.
x^2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)
Estos son los números que van a ir tanto en un grupo como en el otro también lo podemos averiguar porque 3 al multiplicarlo por 2 nos va a dar 6 del trinomio original, y 3 sumando 2 nos va a dar 5 del segundo termino del trinomio original estas son las dos formas para comprobar si los números que colocamos son los correctos.
Caso 6
Cubo perfecto de binomios.
Regla para factorizar un cubo perfecto de binomios.
Factorizar: a^3 + 3a^2 + 3a + 1
1) Primero identificar que el ejercicio tenga cuatro términos en este caso observamos que nuestro ejercicio consta de cuatro términos
2) Sacar la raíz cúbica al primer término y al último término Ejemplo.
La raíz cúbica de a^3 es a.
La raíz cúbica de 1 es 1.
3) Vemos si cumples las condiciones realizando la siguiente prueba. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
1) 3 (a)^2 (1) = 3a^2
2) 3 (a) (1)^2 = 3a
1) Como observamos que una vez que le sacamos la raíz cuadrada al primer y ultimo término, con ellos realizamos la prueba, multiplicando primeramente al 3 por el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del ultimo término, en expresión 3 (a)^2 (1) = 3a^2 dándonos el resultado del segundo término de nuestro ejercicio inicial. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
2) Luego multiplicamos al 3 por la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término, en expresión 3 (a) (1)^2 = 3ª dándonos el resultado del tercer término de nuestro ejercicio inicial. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
4) Y por ultimo ya realizado la prueba y comprobar que se trata de un cubo perfecto de binomios resolvemos el ejercicio:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3
Quedándonos el binomio a + 1 elevándolo al cubo.
Nota: Para saber que signo va dentro del binomio tenemos que tomar en cuenta lo siguiente:
Es signo + cuando los signos de los 4 términos es +
Es signo – cuando los signos de los términos es alternado es decir – y + .
No es cubo perfecto cuando:
1) Cuando al realizar la prueba no nos da el resultado ni del segundo ni tercer término
2) Cuando los signos son alternados de esta forma. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 – 3a – 1
a^3 – 3a^2 + 3a + 1
a^3 + 3a^2 – 3a + 1
a^3 – 3a^2 – 3a + 1
solo cuando es alternado de esta forma a^3 – 3a^2 + 3a – 1 es un cubo perfecto.
Ejercicios descriptivos de los casos de factorizacion VIII
1) 27 – 27x + 9x^2 – x^3 = (3 – x)^3
3 (3)^2 (x) = 27x
3 (3) (x)^2 = 9x^2
2) 125x^3 + 1 + 75x^2 + 15x
Ordenando: 125x^3 + 75x^2 + 15x + 1 = (5x + 1)^3
3 (5x)^2 (1) = 75x^2
3 (5x) (1)^2 = 15x
3) x^3 – 3x^2 + 3x + 1
No es cubo perfecto porque los signos no son alternados de esta manera
– * + * – * +
4) a^6 + 3a^4 b^3 + 3a^2 b^6 + b^9 = (a^2 + b^3)^3
3 (a^2)^2 (b^3) = 3a^4 b^3
3 (a^2) (b^3)^2 = 3a^2 b^6
Caso 7
Suma o diferencia de cubos perfectos.Regla para resolver una suma o diferencia de cubos perfectos.
Regla 1La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1) La suma de sus raíces cúbicas.
2) El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.
Regla 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1) La diferencia de sus raíces cúbicas.
2) El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplos descriptivos de los casos de factorizacion IX.
1) Factorizacion: x^3 + 1
La raíz cúbica de x^3 es x; la raíz cúbica de 1 es 1.
x^3 + 1 = (x + 1) [x^2 – x(1) + 1^2] = (x + 1) (x^2 – x + 1)
Respuesta: (x + 1) (x^2 – x + 1)
Aplicando la regla 1 vemos que trata de una suma de dos cubos perfectos.
Entonces al sacarle la raíz a x^3 = x y 1 = 1, el primer factor va ser una suma de (x + 1), luego aplicamos la regla del segundo factor cuando suma; el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz quedándonos:
[x^2 – x(1) + 1^2] = x^2 – x + 1
Al juntar los 2 factores nuestra respuesta será:
(x + 1) (x^2 – x + 1)
2) Factorizar: 8x^3 – 125
La raíz cúbica de 8x^3 es 2x; la raíz cúbica de 125 es 5
Aplicando la regla 2 vemos que trata de una diferencia de dos cubos perfectos.
8x^3 – 125 = (2x – 5) [(2x)^2 + 2x(5) + (5)^2]
(2x – 5) (4x^2 + 10x + 25)
Al sacarle la raíz a 8x^3 = 2x y a 125 = 5, el primer factor va ser una resta
(2x – 5), luego aplicamos la regla del segundo factor cuando es resta; el cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. Quedándonos:
[(2x)^2 + 5(2x) + 5^2] = 4x^2 + 10x + 25Al juntar los dos factores nuestra respuesta será:
(2x – 5) (4x^2 + 10x + 25)
Caso 8
Suma o diferencia de potencia impares igualesRegla para La suma de dos potencias impares iguales (m^5+n^5) es igual a dos factores:
el primero es la suma de las raíces de los términos(m+n)
el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4, menos el 1º término elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1, más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado, menos el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo, másel 2º término elevado a la cuarta. (m^4 – m^3n + m^2n^2 – mn^3 + n^4)
Regla para La diferencia de dos potencias impares iguales (m^5 – n^5) es igual a dos factores:
el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)
el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4, másel 1º término elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1, más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado, más el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo, más el 2º término elevado a la cuarta.
(m^4 + m^3n + m^2n^2 + mn^3 + n^4)
Encontramos también un video con el que podemos entender mejor los casos de factorización.
Tenemos una presentación donde se encuentran todos los casos
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